Question

已知奇函數(shù)f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分．
（1）補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象并寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）=a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，及已知條件可得函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象頂點坐標(biāo)及與x軸交點坐標(biāo)，可得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的圖象，結(jié)合從左到右函數(shù)圖象上升對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，下降對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（1）中函數(shù)的圖象，可得方程f（x）=a有三個不同的根，則實數(shù)a的值介于函數(shù)的最值之間，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f（x）的圖象如圖：
…（3分）
當(dāng)x≥0時，設(shè)解析式是y=a（x-1）²-2，代入（2，0）得a=2，
即y=2=2x（x-1）²=2x²-4x…（5分）
同理求得當(dāng)x＜0時，設(shè)解析式是y=-2x²-4x…（7分）
所以解析式是f(x)=

2x2-4x，x≥0 -2x2-4x，x＜0

…（8分）
（2）由圖可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，1]
（3）由圖可得y=f（x）與y=a有三個交點時，-2＜a＜2…（10分）
所以方程f（x）=a有三個不同的根，實數(shù)a的取值范圍是（-2，2）…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型．