【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點.
(1)證明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B為60°,求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:取PB的中點M,連接MF,AM.
又∵F為PC的中點,∴FM∥BC,F(xiàn)M= BC,(中位線定理),
∵E為AD的中點,ABCD是平行四邊形,
∴AE∥BC,AE= BC,
∴FM∥AE,F(xiàn)M=AE,
∴四邊形AEFM為平行四邊形
∴EF∥AM,
∵M(jìn)A平面PAB,EF平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)解:∵BA=BD,PA=PD 且 E為AD的中點,
∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB為二面角P﹣AD﹣B的平面角,∴∠PEB=60°,
∵在Rt△ABD,BA=BD= ,AD=2,
∴BE=1,
∵∠PEB=60°,∴Rt△PBE中,PB= ,
∵BE⊥AD,AD∥BC,∴BE⊥BC,
∵PB⊥面ABCD,∴PB⊥BE,
由BC∩PB=B,∴BE⊥平面PBC,
∴∠EFB為直線EF與平面PBC所成角,
∵在Rt△ABM中,AM= ∴ ,
∴在Rt△EBF中,sin∠EFB= = = ,
∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
【解析】(1)利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理證明.(2)根據(jù)二面角平面角的定義先找出平面角,結(jié)合直線和平面所成角的定義作出線面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過曲線y=x2(x≥0)上某一點A作一切線l,使之與曲線以及x軸所圍成的圖形的面積為 ,試求:
(1)切點A的坐標(biāo);
(2)過切點A的切線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個不共線的向量滿足, , .
(1)若與垂直,求的值;
(2)當(dāng)時,若存在兩個不同的使得成立,求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海中一小島的周圍 內(nèi)有暗礁,海輪由西向東航行至處測得小島位于北偏東,航行8后,于處測得小島在北偏東(如圖所示).
(1)如果這艘海輪不改變航向,有沒有觸礁的危險?請說明理由.
(2)如果有觸礁的危險,這艘海輪在處改變航向為東偏南()方向航行,求的最小值.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e,+∞)上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1且k∈Z時,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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【題目】已知向量 =(cosα﹣ ,﹣1), =(sinα,1), 與 為共線向量,且α∈[﹣ ,0].
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求 的值.
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【題目】某公司今年年初用25萬元引進(jìn)一種新的設(shè)備,投入設(shè)備后每年收益為21萬元.該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費用an的信息如圖.
(1)求an;
(2)引進(jìn)這種設(shè)備后,第幾年后該公司開始獲利;
(3)這種設(shè)備使用多少年,該公司的年平均獲利最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ae﹣x , 若f′(x)≥2 恒成立,則a的取值范圍為( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[﹣3,0)
D.(﹣∞,﹣3]
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