Question

14．一個(gè)不透明的袋子中裝有大小相同的12個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次有放回的任意摸取一個(gè)球，共摸取3次，若用X表示取到白球的次數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）與方差D（X）分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由題意知X的可能取值為0，1，2，3，摸到白球的概率為$\frac{1}{4}$，
計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出X的概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望E（X）與方差為D（X）．

解答 解：由題意，X的可能取值為0，1，2，3，摸到白球的概率為$\frac{1}{4}$，
則P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•$\frac{3}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
∴X的概率分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$或E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$；
方差為D（X）=$\frac{27}{64}$×${（0-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{27}{64}$×${（1-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{64}$×${（2-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{64}$×${（3-\frac{3}{4}）}^{2}$=$\frac{9}{16}$；
或D（X）=3×$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望以及方差的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．