Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD，并求直線(xiàn)PC與平面PBD所成角的
正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EM，EA，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得，四邊形ABME為平行四邊形，所以BM∥AE，由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到BM∥平面PAD；
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)PC的方向向量及平面PBD的法向量，然后代入向量夾角公式，即可求出直線(xiàn)PC與平面PBD所成角的正弦值．
解答：證明：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EM，EA，則EM∥AB，且EM=AB
所以四邊形ABME為平行四邊形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD內(nèi)，∴BM∥平面PAD；
解：（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，則在平面PAD內(nèi)，設(shè)N（0，y，z），得，
所以，即N是AE的中點(diǎn)，此時(shí)MN⊥平面PBD，
設(shè)直線(xiàn)PC與平面PBD所成的角為θ，
易得
設(shè)與的夾角為α，則，
故直線(xiàn)PC與平面PBD所成角的正弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面所成的角，直線(xiàn)與平面平行的判定，（1）的關(guān)鍵是找到BM∥AE，（2）的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將線(xiàn)面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．