Question

若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)定義域內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，則稱函數(shù)f（x）為H函數(shù)．已知f（x）=x²+cx，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）求c的值；
（2）求證：f（x）為H函數(shù)；
（3）試舉出一個(gè)不為H函數(shù)的函數(shù)g（x），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-x）=f（x）對(duì)任意的x都成立，從而可求c及f（x）
（2）要證f（x）為H函數(shù)，只要證明

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即可
（3）例：g（x）=log₂x（說明：底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)或-x²都可以即上凸函數(shù)）

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=x²+cx，為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）對(duì)任意的x都成立
即x²-cx=x²+cx對(duì)任意x都成立
即cx=0對(duì)任意的x都成立
所以c=0，f（x）=x²
（2）∵.

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2…（4分）
=

1

4

(x1-x2)2＞0，…（5分）
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，即f（x）為H函數(shù)．…（6分）
（3）例：g（x）=log₂x．…（8分）
（說明：底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)或-x²都可以）．
理由：當(dāng)x₁=1，x₂=2時(shí)，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，…（10分）
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，…（12分）
顯然不滿足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)，
所以該函數(shù)g（x）=log₂x不為H函數(shù)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，及比較法在比較大小中的應(yīng)用，及利用新定義解決試題的能力