Question

4．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x（1-x）}$的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由x（1-x）≠0得x≠0且x≠1，即函數(shù)的定義域為{x|x≠0且x≠1}，
設(shè)t=x（1-x）=-x²+x，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，則函數(shù)等價y=$\frac{1}{t}$，
由t=x（1-x）＞0得0＜x＜1，此時y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，
要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，則求函數(shù)t=x（1-x）在0＜x＜1上的遞減區(qū)間，
∵當$\frac{1}{2}$≤x＜1時，函數(shù)t=x（1-x）單調(diào)遞減，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1）．
由t=x（1-x）＜0得x＞1或x＜0，此時y=$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，
要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，則求函數(shù)t=x（1-x）在x＞1或x＜0的遞減區(qū)間，
∵當x＞1時，函數(shù)t=x（1-x）單調(diào)遞減，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）和（1，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要對分母進行討論．