Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的單位長度，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
（1）把曲線C₁的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C₁與C₂的交點(diǎn)M（ρ₁，θ₁）的極坐標(biāo)，其中ρ₁≤0，0≤θ₁＜2π．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程，可得x=2（cosθ+1）-1=2cosθ+1，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得普通方程為：（x-1）²+y²=4，展開把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得極坐標(biāo)方程．
（2）由曲線C₂的極坐標(biāo)方程：ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），展開可得：$ρ+cosθ+\sqrt{3}$sinθ=0，即ρ²+ρcosθ+$\sqrt{3}ρ$sinθ=0，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解得交點(diǎn)，化為極坐標(biāo)即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得x=2（cosθ+1）-1=2cosθ+1，
∴（x-1）²+y²=4（cos²θ+sin²θ）=4，可得普通方程為：（x-1）²+y²=4，展開為：x²+y²-2x-3=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ-3=0．
（2）由曲線C₂的極坐標(biāo)方程：ρ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），展開可得：$ρ+cosθ+\sqrt{3}$sinθ=0，即ρ²+ρcosθ+$\sqrt{3}ρ$sinθ=0，
化為直角坐標(biāo)方程為：x²+y²+x+$\sqrt{3}$y=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴曲線C₁與C₂的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為$（0，-\sqrt{3}）$，或（-1，0）．
化為極坐標(biāo)為：$（-\sqrt{3}，\frac{π}{2}）$，或（-1，0）．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．