Question

定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_ST.files/image001.png">的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)，均有，則稱函數(shù)為上的夢(mèng)想函數(shù)．

（Ⅰ）已知函數(shù)，試判斷是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的最大整數(shù)值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）的取值范圍是；（Ⅲ）的最大整數(shù)值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題中“夢(mèng)想函數(shù)”的定義判斷函數(shù)是否為“夢(mèng)想函數(shù)”；（Ⅱ）根據(jù)“夢(mèng)想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化型的恒成立問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化為去處理，但需定義域的開閉對(duì)參數(shù)的取值范圍的影響；（Ⅲ）根據(jù)“夢(mèng)想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理，在轉(zhuǎn)化的過程中，若兩邊同時(shí)除以，注意對(duì)的取值符號(hào)分正負(fù)以及進(jìn)行討論，從而得出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定的最大整數(shù)值.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．      1分

理由如下：

定義域，，      2分

存在，使，故函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．  4分

（Ⅱ），，若函數(shù)在上為夢(mèng)想函數(shù)，

則在上恒成立，      5分

即在上恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image022.png">在內(nèi)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image023.png">，      7分

所以．      8分

（Ⅲ），由題意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①當(dāng)時(shí)，顯然成立；     9分

②當(dāng)時(shí)，由可得對(duì)任意恒成立.

令，則， 10分

令，

則．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image040.png">，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image044.png">，所以在單調(diào)遞增．

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，的值均為負(fù)數(shù).

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，

有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.        11分

∴當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞增．

則．    12分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image061.png">，所以，

．    13分

∵在單調(diào)遞增，，，

∴，

所以，即．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022311119141875_DA.files/image069.png">，所以的最大整數(shù)值為．    14分

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、恒成立、參數(shù)分離法