Question

7．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x為有理數(shù)\\ 0，x為無理數(shù)\end{array}\right.$稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個命題：
①f（f（x））=1；      
②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
③任意一個非零無理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；
④存在三個點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．
其中真命題的序號為①④．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1；
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；
③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形，即可判斷．

解答 解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=0，
∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)，故②不正確； 
③由于非零無理數(shù)T，若x是有理數(shù)，則x+T是無理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T不確定，
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個不為零的無理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R不恒成立，故③不正確； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．