Question

7．如圖，四邊形BCDE是直角梯形，CD∥BE，CD丄BC，CD=$\frac{1}{2}$BE=2，平面BCDE丄平面ABC，又已知△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中點．
（I）求證：AM丄ME；
（II）求四面體ADME的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB=AC，M是BC的中點，可得AM⊥BC，再由面面垂直的性質(zhì)可得AM⊥平面BCDE，進一步得到AM⊥ME；
（Ⅱ）由已知可得△BME的面積，得到△DCM的面積，求出梯形BCDE的面積，作差可得△DME的面積，結(jié)合（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱錐A-DME的高AM=$2\sqrt{2}$．代入棱錐體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB=AC，M是BC的中點，
∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，而平面BCDE∩平面ABC=BC，AM?平面ABC，
∴AM⊥平面BCDE，又EM?平面BCDE，
∴AM⊥ME；
（Ⅱ）解：∵BE∥CD，CD⊥BC，且四邊形BCDE是直角梯形，
∴${S}_{△BME}=\frac{1}{2}•BE•BM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
${S}_{△DCM}=\frac{1}{2}{S}_{BME}=2\sqrt{2}$．
而梯形BCDE的面積${S}_{梯形BCDE}=\frac{1}{2}（4+2）×4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$．
∴${S}_{△DME}={S}_{梯形BCDE}-{S}_{△DCM}-{S}_{△BEM}=6\sqrt{2}$．
由（Ⅰ）知，AM⊥平面BCDE，即三棱錐A-DME的高AM=$2\sqrt{2}$．
∴${V}_{A-DME}=\frac{1}{3}{S}_{△DME}•AM=\frac{1}{3}×6\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8．

點評 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．