Question

已知函數(shù)f（x）的定義域D=（0，+∞），且對于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且當x＞1時，f（x）＞1
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用特殊值法，求證f（1）=1，
（2）利用定義法進行證明；
（3）先求出f（4）=2，再根據(jù)函數(shù)的單單調(diào)性，得出不等式組解得即可．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1，
∴f（1）=f（1）+f（1）-1
∴f（1）=1，
（2）：設(shè)令0＜x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，當x＞1時，f（x）＞1
∴f（

x2

x1

）＞1，
∴f（

x2

x1

•x₁）=f（x₂）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）令x₁=x₂=4，
∴f（16）=f（4）+f（4）-1=3
∴f（4）=2，
∴f（3x+1）≤2=f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴

3x+1＞0 3x+1≤4

，
解得-

1

3

＜x≤1，
故不等式f（3x+1）≤2的解集為（-

1

3

，1]．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．