Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）設(shè)b_n=n（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項的和s_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，依次取n=1，2，3，利用遞推思想能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）設(shè)a_n+1+λ=2（a_n+λ），得a_n+1=2a_n+λ，從而得到數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，由此能求出a_n=2ⁿ-1．
（3）由b_n=n（a_n+1），得bn=n2n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項的和．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a₂=2a₁+1=3，
a₃=2a₂+1=7，
a₄=2a₃+1=15．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴設(shè)a_n+1+λ=2（a_n+λ），得a_n+1=2a_n+λ，所以λ=1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴通項公式為a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（3）由b_n=n（a_n+1），得bn=n2n
由S_n是數(shù)列{b_n}的前n項的和，
得S_n=b₁+b₂+…+b_n
即Sn=2+2×22+3×23+…n2n ①
①×2得2Sn=22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n2n+1②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1，
∴-Sn=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1，
解得Sn=2-2n+1+n•2n+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．