Question

圖2中的實(shí)線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是

1

4

．
（1）從正方形ABCD的四條邊及兩條對角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），求其中一條線段長度是另一條線段長度的

2

倍的概率；
（2）求此長方體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，再用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；
（2）以面積為測度，結(jié)合幾何概型的概率公式，即可求此長方體的體積．

解答： 解：（1）記事件M：從6條線段中任取2條線段，其中一條線段長度是另一條線段長度的

2

倍．從6條線段中任取2條線段，有15種等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）
其中事件M包含8種結(jié)果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分）P(M)=

8

15

，因此，所求事件的概率為

8

15

…（6分）
（2）記事件N：向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)．
設(shè)長方體的高為h，則圖2中虛線圍成的矩形長為2+2h，寬為1+2h，面積為（2+2h）（1+2h）…（9分）
長方體的平面展開圖的面積為2+4h；…（10分）
由幾何概型的概率公式知P(N)=

2+4h

(2+2h)(1+2h)

=

1

4

，得h=3，…（12分）
所以長方體的體積是V=1×1×3=3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查幾何概型，是中檔題．