Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，g（x）=（6+a）•2^x-1．
（Ⅰ）若f（1）=f（3），求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，判斷函數(shù)F（x）=

2

1+g(x)

的單調性，并用定義給出證明；
（Ⅲ）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a（a∈（-∞，-4）∪[4，+∞））恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）由f（1）=f（3）便得到函數(shù)f（x）的對稱軸是x=2=-

a

2

，a=-4；
（Ⅱ）F（x）=

2

1+2x

，根據(jù)單調性的定義，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通過作差判斷F（x₁）與F（x₂）的大小關系即可；
（Ⅲ）f（x）的對稱軸是x=-

a

2

，根據(jù)已知條件討論a：若a＜-4，-

a

2

＞2，則函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調遞減，所以f（x）的最小值f（2）=7+2a≥a，解得a≥-7，同樣的辦法，可求得若a＞4時，不存在f（x）≥a，所以求得a的最小值是-7．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（1）=f（3），∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為x=2；
∴-

a

2

=2，∴a=-4；
（Ⅱ）F(x)=

2

1+g(x)

=

2

1+(6-4)•2x-1

=

2

1+2x

；
x增大時，y減小，所以F（x）是R上的減函數(shù)；
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

；
∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
所以函數(shù)F（x）是R上的減函數(shù)；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的對稱軸是x=-

a

2

，當a＜-4時，-

a

2

＞2，∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調遞減；
∴f（x）的最小值f（2）=7+2a≥a，∴a≥-7；
當a＞4時，-

a

2

＜-2，∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調遞增；
∴f（x）的最小值f（-2）=7-2a≥a，∴a≤

7

3

與a＞4，所以這種情況不存在；
∴a的最小值為-7．

點評：考查二次函數(shù)的對稱軸，單調遞減函數(shù)的定義以及利用定義證明函數(shù)是減函數(shù)的過程，根據(jù)對稱軸判斷二次函數(shù)的單調性．