Question

已知雙曲線x²－y²＝2的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₂的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．

(I)若動(dòng)點(diǎn)M滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(II)在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：由條件知，，設(shè)，． 　　解法一：(I)設(shè)，則則，，，由得 　　即 　　于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/0648/0020/d9d64f559e23ae239c279b209ce922f3/C/Image317.gif" width=39 height=18>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得 　　，即． 　　將代入上式，化簡(jiǎn)得． 　　當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程． 　　所以點(diǎn)的軌跡方程是． 　　(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)． 　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是． 　　代入有． 　　則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，， 　　于是 　　 　　 　　． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/0648/0020/d9d64f559e23ae239c279b209ce922f3/C/Image331.gif" width=50 height=22>是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)＝． 　　當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，， 　　此時(shí)． 　　故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)． 　　解法二：(I)同解法一的(I)有 　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是． 　　代入有． 　　則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以． 　　． 　　由①②③得．…………………………………………………④ 　　．……………………………………………………………………⑤ 　　當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有 　　．整理得． 　　當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程． 　　當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程． 　　故點(diǎn)的軌跡方程是． 　　(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)， 　　當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由(I)有，． 　　以上同解法一的(II)．