Question

（本題滿分14分）已知二次函數(shù)滿足且．

（Ⅰ）求的解析式．

（Ⅱ）在區(qū)間上, 的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=x2-x+1．（Ⅱ）m<-1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由待定系數(shù)法可設(shè)f（x）=ax2+bx+c（）, 由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．又因?yàn)閒（x+1）-f（x）=2x,代入可得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x, 所以∴f（x）=x2-x+1．

（Ⅱ）由題意的圖象恒在的圖象上方即x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立，即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．令g（x）= x2-3x+1-m，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=，所以g（x） 在[-1,1]上遞減．

所以g（1）>0，即12-3×1+1-m>0,從而m<-1．

試題解析： （Ⅰ）設(shè)f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1． 2分

∵f（x+1）-f（x）=2x,∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x, 4分

所以, 6分∴f（x）=x2-x+1． 7分

（Ⅱ）由題意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立．即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．

設(shè)g（x）= x2-3x+1-m,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=, 9分

所以g（x） 在[-1,1]上遞減．

故只需g（1）>0, 即12-3×1+1-m>0, 12分

解得m<-1． 14分

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．