Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α，β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{5}$，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{13}$，求cos（α-β）；
（2）已知點(diǎn)C（2$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=2，求α

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的定義與和差公式即可得出．
（2）利用三角函數(shù)求值、和差公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可的．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{5}$，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{13}$，
∴$sinα=\frac{3}{5}，cosβ=\frac{5}{13}$，
∵α，β為銳角，∴$cosα=\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{12}{13}$，
∴$cos（{α-β}）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{56}{65}$，
（2）∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$2\sqrt{3}cosα$-2sinα=$4cos（α+\frac{π}{6}）$，
∴$4cos（{α+\frac{π}{6}}）=2$，
∴$cos（α+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵$α+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$，∴$α+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，∴$α=\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義、和差公式、三角函數(shù)求值、和差公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．