Question

【題目】如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，過(guò)點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得＝恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意橢圓過(guò)點(diǎn).，在由離心率是，列方程組求解.

（2）根據(jù)特殊直線位置，先確定點(diǎn)Q在y軸上，由斜率不存在確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再證明斜率存在時(shí)的情況也成立。.

（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2，

所以橢圓過(guò)點(diǎn).，

所以，

解得，

所以橢圓得方程為：.

（2）當(dāng)l平行于x軸，設(shè)直線與橢圓相交于C，D，兩點(diǎn)，如果存在Q點(diǎn)滿足條件，

則有＝，即，

所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q的坐標(biāo)為，

當(dāng) l垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M，N，兩點(diǎn)，如果存在Q點(diǎn)滿足條件，

則有＝，，

解得或

所以若存在不同于點(diǎn)P的頂點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)l不平行于x軸，當(dāng) l不垂直于x軸時(shí)，

設(shè)直線方程為，

與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，

，

又因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，

且，

所以，則三點(diǎn)共線，

所以＝.

故存在存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得＝恒成立.