Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₄-1）³+2007（a₄-1）=1，（a₂₀₀₄-1）³+2007（a₂₀₀₄-1）=-1，則下列結論中正確的是（ ）
A．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＜a₄
B．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＞a₄
C．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≤a₄
D．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≥a₄

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意建立一個函數(shù)f（x）=x³+2007x，求出f（x）的導函數(shù)，進而得到導函數(shù)恒大于0，即函數(shù)f（x）為單調遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，根據(jù)已知的兩等式，得到f（a₄-1）等于1及f（a₂₀₀₄-1）等于-1，由f（x）為奇函數(shù)得到f（1-a₂₀₀₄）等于1，由函數(shù)的單調性得到a₄-1與1-a₂₀₀₄相等即a₄+a₂₀₀₄=2，根據(jù)f（a₄-1）大于f（a₂₀₀₄-1），由函數(shù)的單調性，得到a₂₀₀₄＜a₄，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的公式表示出S₂₀₀₇，根據(jù)等差數(shù)列的性質化簡后，將a₄+a₂₀₀₄=2代入即可求出值．
解答：解：令f（x）=x³+2007x，f'（x）=3x²+2007＞0，
得到f（x）在R上單調遞增，且f（x）為奇函數(shù)．
由條件，有f（a₄-1）=1，f（a₂₀₀₄-1）=-1，即f（1-a₂₀₀₄）=1．
∴a₄-1=1-a₂₀₀₄，從而a₄+a₂₀₀₄=2，
又根據(jù)f（a₄-1）＜f（a₂₀₀₄-1），得到a₂₀₀₄-1＜a₄-1，
∴a₂₀₀₄＜a₄．
而．
故選A
點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的性質及前n項和的公式化簡求值，考查了利用函數(shù)思想解決實際問題的能力，是一道中檔題．