Question

9．已知橢圓x²+by²=a與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=2$\sqrt{2}$且AB的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為$\frac{1}{5}$時(shí)，求a、b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y求出弦長(zhǎng)|AB|，再求出AB的中點(diǎn)M，由斜率k_OM求出b的值，再求出a的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{by}^{2}=a}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，消去y得，
（1+b）x²-2bx+b-a=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2b}{1+b}$，x₁x₂=$\frac{b-a}{1+b}$；
∴弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（\frac{2b}{1+b}）}^{2}-\frac{4（b-a）}{1+b}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{ab+a-b}}{|1+b|}$=2$\sqrt{2}$，
整理得：b²+3b-a-ab+1=0；
又y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=2-$\frac{2b}{1+b}$=$\frac{2}{1+b}$，
∴AB的中點(diǎn)為M（$\frac{1+b}$，$\frac{1}{1+b}$），
由題意得：k_OM=$\frac{\frac{1}{1+b}}{\frac{1+b}}$=$\frac{1}$=$\frac{1}{5}$，
解得b=5，a=$\frac{41}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，是綜合題．