Question

17．已知三棱錐A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E為AB中點，求點A到平面CED的距離．
（3）求三棱錐A-BCD的外接球的體積（球體積公式V=$\frac{4}{3}π{R^3}$．R為球的半徑）

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面BCD，可得AD⊥BC，可得BC⊥平面ACD，即可證明結論平面ABC⊥平面ACD．
（2）由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中點為F，連接EF，可得△ECD為等腰三角形，可得$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${S_{△ECD}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，由（1）可得：E到平面ACD的距離為1，${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，令A到平面CED的距離為d，有${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$利用體積計算公式即可得出．
（3）△ADB，△ACB，△CDB都為自己三角形，所以三棱錐A-BCD中的外接球的球心是點E．再利用球的體積計算公式即可得出．

解答 （1）證明：因為AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
所以AD⊥BC，又因為AC⊥BC，AC∩AD=A，
所以BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ACD．
（2）解：由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中點為F，連接EF，
由于$ED=EC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，所以△ECD為等腰三角形，
從而$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${S_{△ECD}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
由（1）知BC⊥平面ACD，所以E到平面ACD的距離為1，${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
令A到平面CED的距離為d，有${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$，解得$d=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（3）解：△ADB，△ACB，△CDB都為自己三角形，
所以三棱錐A-BCD中的外接球的球心是點E．
其半徑R=EC=$\sqrt{2}$．
∴V_球=$\frac{4}{3}π$$（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

點評 本題考查了空間位置關系、體積計算公式、數(shù)形結合方法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．