Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF₁|•|PF₂|=8a²，且△PF₁F₂的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 不妨設(shè)點P在雙曲線右支，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左，右焦點，有|PF₁|-|PF₂|=2a，由條件可得△PF₁F₂的三邊，判斷最小的邊，從而判斷三角形的形狀，結(jié)合離心率公式計算即可得到．

解答 解：不妨設(shè)點P在雙曲線右支，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左，右焦點，
有|PF₁|-|PF₂|=2a，
由$|P{F_1}|•|P{F_2}|=8{a^2}$，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由|F₁F₂|=2c＞2a知，△PF₁F₂的最小內(nèi)角為∠PF₁F₂=30°，
從而△PF₁F₂為直角三角形，∠F₁F₂P=90°，
則有2c=2$\sqrt{3}$a，
此時雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題主要考查雙曲線的定義，雙曲線離心率的運算，對考生的運算求解能力提出較高要求．