Question

過雙曲線的右焦點F作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線的左、右支的交點分別為A，B．
（1）求證：P在雙曲線的右準線上；
（2）求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出雙曲線半焦距，求得漸近線方程，則可求得過F的垂線方程，聯(lián)立方程求得焦點p的橫坐標，推斷出在右準線上
（2）根據(jù)直線l與雙曲線左右支均有交點，判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，進而推斷出  ＞整理后即可求得a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線半焦距為c，c＞0，有F（c，0） 
該漸近線方程為y=-x，則過F的垂線為y=（x-c） 
聯(lián)立方程組可解得  x=，即在右準線x=上．
（2）因為直線l與雙曲線左右支均有交點，則該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．
所以l₁的斜率必大于l的斜率，即  ＞，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
則離心率e=＞
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線問題，離心率問題等．