Question

橢圓C的兩焦點坐標(biāo)分別為F₁（-5

3

，0）和F₂（5

3

，0），且橢圓經(jīng)過點P(-5

3

，-

5

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-6，0）作直線l交橢圓C于M、N兩點（直線l不與x軸重合），A為橢圓的左頂點，試證明：∠MAN=90°．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得c²=a²-b²=75，

75

a2

+

1

b2

•

25

4

=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為：x=my-6由

x2+4y2=100 x=my-6

得：（m²+4）y²-12my-64=0，由此能證明∠MAN的大小必為定值

π

2

．

解答： （Ⅰ）解：由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知則有c²=a²-b²=75，

75

a2

+

1

b2

•

25

4

=1，
聯(lián)立解得a²=100，b²=25，
故所求橢圓方程為

x2

100

+

y2

25

=1…..（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線MN的方程為：x=my-6
由

x2+4y2=100 x=my-6

得：（m²+4）y²-12my-64=0，
因為點（-6，0）在橢圓內(nèi)部，
直線必與橢圓相交于兩點，即△＞0恒成立
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y1+y2=

12m

m2+4

，y1•y2=

-64

m2+4

，…..（8分）
則

AM

•

AN

=(x1+10，y1)•(x2+10，y2)
=（my₁+4，y₁）•（my₂+4，y₂）
=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
將y1+y2=

12m

m2+4

，y1•y2=

-64

m2+4

，
代入上式整理，得

AM

•

AN

=0，∴∠MAN=

π

2

，
則∠MAN的大小必為定值

π

2

…．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查角為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理的合理運用．