如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)
（I）求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求三棱錐P-AEF的體積．

【答案】分析：（I）取PA中點(diǎn)H，連接CE，HE，F(xiàn)H，證明四邊形FCEH是平行四邊形，可得EC∥HF，利用線面平行的判定定理，可得結(jié)論；
（II）證明PA⊥平面ABCD，利用三棱錐P-AEF的體積VP-AFD，可得結(jié)論．
解答：（I）證明：取PA中點(diǎn)H，連接CE，HE，F(xiàn)H
∵H，E分別為PA，PD的中點(diǎn)，
∴HE∥AD，HE=AD
∵ABCD是平行四邊形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴FC∥AD，F(xiàn)C=AD
∴HE=FC，HE∥FC
∴四邊形FCEH是平行四邊形
∴EC∥HF
∵EC?平面PAF，HF?平面PAF
∴CE∥平面PAF；
（II）解：∵底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，
∴CA⊥AD
∵PA=BC=1，AB=
∴AC=1
∴S△AFD==
∵PA=AD=1，PD=
∴PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD，
∴VP-AFD==
∵E是PD的中點(diǎn)，
∴三棱錐P-AEF的體積VP-AFD=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定定理，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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