Question

已知函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點A（0，1）及B（，1）兩點．
（1）當(dāng)x∈[0，]時恒有|f（x）|≤2，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取題（1）中a范圍的最小整數(shù)值時，若存在實數(shù)m，n，φ，使mf（x）+nf（x-φ）=1對任意的x∈R恒成立，試求m，n，φ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中條件，找到a，b，c之間的關(guān)系，可將函數(shù)解析式進行化簡，然后分類討論a取不同值時，|f（x）|≤2
的解集情況，綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
（2）由題意可得a=-1，函數(shù)f（x）=-1+2sin（），2msin（）+2n sin（-∅）=1+m+n，對任意的x∈R恒成立，故有m=n=-，且 sin（）=-sin（-∅），∅=2kπ+π，k∈z．
解答：解：（1）把點A（0，1）及B（，1）的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx可得
1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，故 f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+（1-a）sin（）．
∵0≤x≤，則 ≤≤，∴≤sin（x+）≤1．
當(dāng)a＜1時，1≤f（x）≤+（1-）a，要使|f（x）|≤2，只須 +（1-）a≤2，解得 a≥-．
當(dāng) a＞1時，+（1-）a≤f（x）≤1，要使|f（x）|≤2，只須+（1-）a≥-2，解得 a≤4+3，
故所求a的范圍是-≤a≤4+3．
（2）當(dāng)a取題（1）中a范圍的最小整數(shù)值-1時，函數(shù)f（x）=-1+2sin（），
mf（x）+nf（x-φ）=1對任意的x∈R恒成立，即 m[-1+2sin（）]+n[-1+2sin（-∅）]=1，
即 2msin（）+2n sin（-∅）=1+m+n，對任意的x∈R恒成立．
故有m=n=-，且 sin（）=-sin（-∅），∴∅=2kπ+π，k∈z．
綜上，m=n=-，∅=2kπ+π，k∈z．
點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，將函數(shù)解析式變形成正弦函數(shù)的形式是解答本題的關(guān)鍵．