已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x正半軸上,傾斜角為銳角的直線l過F點(diǎn).設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn),
MF
FB
,其中λ>0
(I)若λ=1,求直線l的斜率;
(II)若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A1、B1,且|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差數(shù)列,求λ的值.
依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的斜率為k,k>0,M的縱坐標(biāo)為y0
則F(
p
2
,0),準(zhǔn)線方程為x=-
p
2
,直線l的方程為y=k(x-
p
2
),M(-
p
2
,y0),y2>0
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >
MF
FB
,所以(p,-y0)=λ(x2-
p
2
,y0),故p=λ(x2-
p
2

(I)若λ=1,由p=λ(x2-
p
2
),y22=2px2,y2>0,得x2=
3p
2
,y2=
3
p,
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
3p
2
,
3
p

所以直線l的斜率k=
3
p-0
3p
2
-
p
2
=
3
   (5分)
(II)聯(lián)立y2=2px,y=k(x-
p
2
),消去y,可得k2x2-(k2p+2p)x+
k2p2
4
=0,則x1x2=
p2
4

x2=
p
λ
+
p
2
 (7分)
x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4
  (9分)
因?yàn)閨
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差數(shù)列,
所以|
B1F
|+2|
A1F
|=2|
OF
|,
故(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p,即x2-2x1=
p
2

x2=
p
λ
+
p
2
,x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2

因?yàn)棣耍?,所以λ=2.   (12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧五中2010屆高三5月模擬(理) 題型:填空題

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