Question

（2005•朝陽(yáng)區(qū)一模）圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）的普通方程為

（x-1）²+y²=1

，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（x₀，y₀）在C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P（x，y）是線段OM的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為

（2x-1）²+4y²=1

．

Answer 1

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1，消去參數(shù)θ得它的普通方程；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)P與點(diǎn)M坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)M（x₀，y₀）在C上運(yùn)動(dòng)知其坐標(biāo)適合曲線C的參數(shù)方程，最終消去參數(shù)即可得到點(diǎn)P軌跡的普通方程．

解答：解：圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）利用sin²θ+cos²θ=1，
消去參數(shù)θ得它的普通方程為（x-1）²+y²=1；
∵點(diǎn)P（x，y）是線段OM的中點(diǎn)，
∴x₀=2x，y₀=2y，
又點(diǎn)M（x₀，y₀）在C上，
∴x₀=1+cosθ，y₀=sinθ，
∴2x=1+cosθ，2y=sinθ，
消去參數(shù)θ得
（2x-1）²+4y²=1
故答案為：（x-1）²+y²=1；（2x-1）²+4y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化及參數(shù)法求點(diǎn)的軌跡方程的方法，屬于基礎(chǔ)題之列．