Question

已知三個(gè)正數(shù)a，b，c，滿足2a≤b+c≤4a，-a≤b-c≤a，則

b

c

+

c

b

的取值范圍（　�。�

• A．(0，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  10

  3

  ]
• C．[2，+∞）
• D．[3，

  10

  3

  ]

Answer 1

分析：先利用線性規(guī)劃知識(shí)求出

c

b

的取值范圍，然后運(yùn)用基本不等式即可求出

b

c

+

c

b

的取值范圍．

解答：解：滿足條件的點(diǎn)（b，c）構(gòu)成的可行域如圖所示：為四邊形ABDC內(nèi)的部分，包括邊界．

由

b+c=2a b-c=a

解得A（

3

2

a，

1

2

a），
由

b+c=2a b-c=-a

解得B（

1

2

a，

3

2

a）．
則k_OA≤

c

b

≤k_OB，即

1

3

≤

c

b

≤3．
令t=

c

b

，則t∈[

1

3

，3]．
所以

b

c

+

c

b

=t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)t=

1

3

時(shí)，t+

1

t

=

10

3

，當(dāng)t=3時(shí)，t+

1

t

=

10

3

，所以t+

1

t

的最大值為

10

3

，
故t+

1

t

的取值范圍為[2，

10

3

]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃知識(shí)及利用基本不等式求函數(shù)最值問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．