Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，E是線段AB的中點．
（1）證明：PC⊥CD；
（2）PA上是否存在點G，使得EG∥平面PCD；
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以

AB

，

AD

，

AP

為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PC⊥CD．
（2）求出平面PCD的法向量，由EG∥平面PCD，能求出滿足AG=

1

4

AP的點G即為所求．
（3）由PA⊥平面ABCD，知∠PBA是PB與平ABCD所成的角，由此利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，
以

AB

，

AD

，

AP

為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則由題意知A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
不妨令P（0，0，t），
∵

PC

=(1，1，-t)，

DC

=(1，-1，0)，
∴

PC

•

DC

=0，
∴PC⊥CD．
（2）解：設平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • PC =x+y-tz=0 n • DC =x-y=0

，
取z=1，得

n

=（

t

2

，

t

2

，1），
設G點坐標為（0，0，m），E（

1

2

，0，0），則

EG

=(-

1

2

，0，m)，
要使EG∥平面PCD，則

EG

•

n

=0，
即-

1

2

×

t

2

+0×

t

2

+1×m=0，
解得m=

t

4

，
∴滿足AG=

1

4

AP的點G即為所求．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°，PA=1，
∵AB⊥平面PAD，∴

AB

是平面PAD的法向量，
由（2）知平面PCD的法向量為

n

=(

1

2

，

1

2

，1)，
∴cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB || n |

=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

，
∴二面角A-PD-C的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．