Question

三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=

3

，則該三棱錐外接球的表面積為（　　）

• A、5π
• B、

  2

  π
• C、20π
• D、4π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,球

分析：根據(jù)題意，證出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中線(xiàn)OB=

1

2

PC，同理得到OA=

1

2

PC，因此O是三棱錐S-ABC的外接球心．利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PC=

5

，得外接球半徑R=

5

2

，從而得到所求外接球的表面積

解答： 解：取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中線(xiàn)OA=

1

2

PC
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB內(nèi)的相交直線(xiàn)
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
因此Rt△BSC中，中線(xiàn)OB=

1

2

PC
∴O是三棱錐P-ABC的外接球心，
∵Rt△PCA中，AC=

2

，PA=

3

∴PC=

5

，可得外接球半徑R=

1

2

PC=

5

2

∴外接球的表面積S=4πR²=5π
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．