Question

8．在等比數(shù)列{a_n}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，若a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，則數(shù)列{a_n}的前15項(xiàng)的和為31．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，可得${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=1，${a}_{1}{q}^{6}（1+q+{q}^{2}）$=4，可得q³=2，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1-q³．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₁+a₂+a₃=1，a₇+a₈+a₉=4，
則${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=1，${a}_{1}{q}^{6}（1+q+{q}^{2}）$=4，
∴q⁶=4，
∴q³=2．
∴${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$（1-q）=1-q，可得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1-q³=-1．
∴數(shù)列{a_n}的前15項(xiàng)的和=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{15}）}{1-q}$=q¹⁵-1=2⁵-1=31．
故答案為：31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．