Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{ln（{ax}）+2}}$（a≠0）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（${\frac{1}{2}$，f（${\frac{1}{2}}$））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（${\frac{1}{2}}$），f′（${\frac{1}{2}}$）的值，代入切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\frac{x}{2+ln2x}$，（x＞0），f′（x）=$\frac{1+ln2x}{{（2+ln2x）}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
故切線方程為：2x-8y+1=0．
（2）顯然當(dāng)a＞0時(shí)，$f'（x）=\frac{lnax+1}{{{{（{lnax+2}）}^2}}}（{x＞0}）$，
令f'（x）＞0，解得$x＞\frac{1}{ae}$，
即當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{ae}}）$時(shí)，f'（x）＜0；
x∈（$\frac{1}{ae}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）無最大值，最小值為$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$．
a＜0時(shí)，$f'（x）=\frac{lnax+1}{{{{（{lnax+2}）}^2}}}（{x＜0}）$，
令f'（x）＞0，解得$x＜\frac{1}{ae}$，即當(dāng)$x∈（{\frac{1}{ae}，0}）$時(shí)，f'（x）＜0；
$x∈（{-∞，\frac{1}{ae}}）$時(shí)，f'（x）＞0．
∴f（x）無最小值，最大值為$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．