Question

3．已知e為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率，點(diǎn)（1，e）和$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$都在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設(shè)P（bx₁，ay₁）、Q（bx₂，ay₂），若以PQ為直徑的圓C恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求證：△AOB的面積等于定值．

Answer 1

分析 （I）利用已知條件列出方程，求出a、b，即可求解橢圓C的方程．
（II）當(dāng)l垂直于x軸時求解△AOB的面積．當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l方程：y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，利用韋達(dá)定理以及以PQ為直徑的圓，求出弦長與點(diǎn)到直線的距離，求解出三角形的面積．

解答 解：（I）由題設(shè)知，${a^2}={b^2}+{c^2}，e=\frac{c}{a}$，由點(diǎn)（1，e）在橢圓上，
得$\frac{1}{a^2}+\frac{c^2}{{{a^2}{b^2}}}=1$，∴b²=1，c²=a²-1，…（2分）
由點(diǎn)$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上，得$\frac{c^2}{a^4}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}}{1}=1$，即$\frac{{{a^2}-1}}{a^4}+\frac{3}{4}=1$，a²=2，
∴橢圓C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（II）當(dāng)l垂直于x軸時，∵若以PQ為直徑的圓C恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
易得直線l：x=1，或l：x=-1，△AOB的面積等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（6分）
當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程設(shè)為：y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，得m²＜1+2k²，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，…（8分）
∵以PQ為直徑的圓C恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}=0$，
即$（1+2{k^2}）{x_1}{x_2}+2km（{x_1}+{x_2}）+2{m^2}=4{m^2}-2（1+2{k^2}）=0$，
整理得1+2k²=2m²，
∴$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$，
點(diǎn)O到直線y=kx+m距離是$d=\sqrt{\frac{{1+2{k^2}}}{{2（{k^2}+1）}}}$，
∵△OAB的面積=$\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}•\sqrt{\frac{{1+2{k^2}}}{{2（{k^2}+1）}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
綜上△AOB的面積等于定值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．