Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．問是否存在這樣的實數(shù)m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcos2θ）＞f（0）對任意的θ∈R都成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得到函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，且f（0）=0，原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可轉(zhuǎn)化為t∈[-1，1]時，假設(shè)存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，將m分離出來利用基本不等式即可求出m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x）在R上為增函數(shù)，且f（0）=0，
所以原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，t∈[-1，1]，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：
t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，整理得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$≥2$\sqrt{2}$，t∈[-1，1]，則當(dāng)且僅當(dāng)t=2-$\sqrt{2}$時，h（t）_min=2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$+4）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在這樣的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用基本不等式求最值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．