（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中
（Ⅰ）求在上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（III）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點、，使得是以原點為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？

(1)在上的單調(diào)減區(qū)間為， ：單調(diào)增區(qū)間為 
(2)在上的最大值為2
(3) 對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點，使得△是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

解析試題分析：（Ⅰ）因為
當時，，
解得到；解得到或．所以在上的單調(diào)減區(qū)間為， ：單調(diào)增區(qū)間為     ………………4分
（Ⅱ）①當時，由（Ⅰ）知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在處取得極大值．
又，所以在上的最大值為2．……………………6分
②當時，，當時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．所以當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為2.                             …………………………8分
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，則只能在軸的兩側，不妨設，則，且． …9分
因為是以為直角頂點的直角三角形，所以，
即：（1）             ……………………………………10分
是否存在點等價于方程（1）是否有解．
若，則，代入方程（1）得：，此方程無解.…11分
若，則，代入方程（1）得到：             ……12分
設，則在上恒成立．所以在上單調(diào)遞增，從而，即有的值域為

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，設
（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求函數(shù)在上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．

(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？
②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（12分）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)： ，其中是儀器的月產(chǎn)量
（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)
（2）當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（總收益=總成本+利潤）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
若，且，
（1）求的最小值及相應 x的值；
（2）若，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題13分）已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．
（1）若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；
（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設函數(shù)，且不等式的解集為，
（1）求的值；
（2）解關于的不等式

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分16分）
已知函數(shù)，
（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；
（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（11分） 已知函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，且滿足
(1)求的值           (2)解不等式

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