已知過點(diǎn)

的直線

與拋物線

交于

兩點(diǎn),

為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若以

為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)

,求直線

的方程;
(2)若線段

的中垂線交

軸于點(diǎn)

,求

面積的取值范圍.
解:(1)

(2)

。
試題分析:
思路分析:(1)通過分析已知條件,確定直線

的斜率存在,故可設(shè)直線

方程為

,通過聯(lián)立方程組

,消去

,應(yīng)用韋達(dá)定理及

,建立k的方程,求解。
(2)通過設(shè)線段

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

確定線段

的中垂線方程為

,
將

用k表示,

,
利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到

,進(jìn)一步確定三角形面積的最值。
解:(1)依題意可得直線

的斜率存在,設(shè)為

,
則直線

方程為

1分
聯(lián)立方程

,消去

,并整理得

2分
則由

,得

設(shè)

,則

4分

5分

以

為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)





,解得

6分

直線

的方程為

,即

7分
(2)設(shè)線段

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

由(1)得

8分

線段

的中垂線方程為

9分
令

,得

11分
又由(1)知

,且

或



,

13分

面積的取值范圍為

14分
點(diǎn)評:中檔題,確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般利用“待定系數(shù)法”,涉及直線與拋物線的位置關(guān)系,往往通過聯(lián)立方程組,應(yīng)用韋達(dá)定理,簡化解題過程。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系

中,已知曲線

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)

的距離與到直線

的距離相等.
(Ⅰ)求曲線

的方程;
(Ⅱ)設(shè)

,

是

軸上的兩點(diǎn)

,過點(diǎn)

分別作

軸的垂線,與曲線

分別交于點(diǎn)

,直線

與x軸交于點(diǎn)

,這樣就稱

確定了

.同樣,可由

確定了

.現(xiàn)已知

,求

的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知直線

經(jīng)過拋物線

的焦點(diǎn),且與拋物線交于

兩點(diǎn),點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)證明:

為鈍角.
(Ⅱ)若

的面積為

,求直線

的方程;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若動圓的圓心在拋物線

上,且與直線

相切,則此圓恒過定點(diǎn)( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
拋物線

的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

,過

軸上一點(diǎn)

的直線與拋物線交于點(diǎn)

兩點(diǎn)。
證明,存在唯一一點(diǎn)

,使得

為常數(shù),并確定

點(diǎn)的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)拋物線

的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)F為拋物線

的焦點(diǎn),

為拋物線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)

是△ABC的重心,

為坐標(biāo)原點(diǎn),△

、△

、△

的面積分別為

、

、

,則

( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若拋物線

上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和拋物線對稱軸的距離分別為

和

,則拋物線方程為( )
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