Question

已知點列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N） 順次為一次函數(shù)圖象上的點， 點列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N） 順次為x軸正半軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1）， 對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以 B_n為頂點的等腰三角形.

⑴求{y_n}的通項公式，且證明{y_n}是等差數(shù)列；

⑵試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{x_n}的通項公式；

 ⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在， 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）(nÎN)；（2）x_n= 

 （3）存在直角三形，此時a的值為、、.

【解析】（I）因為(nÎN),易根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出{y_n}為等差數(shù)列.

（II）解本小題的關(guān)鍵是先根據(jù)x_n+1-x_n=2為常數(shù),可確定的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，從而求出.

(III) 要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()，

當(dāng)n為奇數(shù)時，x_n+1-x_n=2(1-a)；當(dāng)n為偶數(shù)時，x_n+1-x_n=2a.然后分別研究即可.

（1）(nÎN),y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數(shù)列 (4¢)

   （2）x_n+1-x_n=2為常數(shù) (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，

        ∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，

        ∴x_n= 

   （3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

        當(dāng)n為奇數(shù)時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

        Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù)，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14¢)

        當(dāng)偶數(shù)時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

        ∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù)，0＜a＜1)  (*¢)，取n=2，得a=,

        若n≥4，則(*¢)無解.

        綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. (18¢)