Question

16．設|θ|＜$\frac{π}{2}$，n為正整數，數列{a_n}的通項公式a_n=sin$\frac{nπ}{2}$tanⁿθ，其前n項和為S_n
（1）求證：當n為偶函數時，a_n=0；當n為奇函數時，a_n=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tanⁿθ；
（2）求證：對任何正整數n，S_2n=$\frac{1}{2}$sin2θ•[1+（-1）ⁿ⁺¹tan²ⁿθ]．

Answer 1

分析 （1）利用sin$\frac{nπ}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{0，n為偶數}\\{（-1）^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數}\end{array}\right.$，即可得出．
（2）a_2k-1+a_2k=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tanⁿθ．利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 證明：（1）a_n=sin$\frac{nπ}{2}$tanⁿθ，
當n=2k（k∈N^*）為偶數時，a_n=sinkπ•tanⁿθ=0；
當n=2k-1為奇函數時，a_n=$sin\frac{2k-1}{2}π$•tanⁿθ=（-1）^k-1tanⁿθ=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tanⁿθ．
（2）a_2k-1+a_2k=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tanⁿθ．∴奇數項成等比數列，首項為tanθ，公比為-tan²θ．
∴S_2n=$\frac{tanθ[1-（-1）^{n}ta{n}^{2n}θ]}{1-（-ta{n}^{2}θ）}$=$\frac{1}{2}$sin2θ•[1+（-1）ⁿ⁺¹tan²ⁿθ]．

點評 本題考查了三角函數的誘導公式、等比數列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．