Question

4．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤，問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金$\frac{1}{2}$，第2關(guān)收稅金為剩余金的$\frac{1}{3}$，第3關(guān)收稅金為剩余金的$\frac{1}{4}$，第4關(guān)收稅金為剩余金的$\frac{1}{5}$，第5關(guān)收稅金為剩余金的$\frac{1}{6}$，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”若將題中“5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”改成假設(shè)這個原來持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)，則第8關(guān)需收稅金為$\frac{1}{72}$x．

Answer 1

分析 第1關(guān)收稅金：$\frac{1}{2}$x；第2關(guān)收稅金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3關(guān)收稅金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；…，可得第8關(guān)收稅金．

解答 解：第1關(guān)收稅金：$\frac{1}{2}$x；第2關(guān)收稅金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3關(guān)收稅金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；
…，可得第8關(guān)收稅金：$\frac{1}{8×9}$x，即$\frac{1}{72}$x．
故答案為：$\frac{1}{72}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．