Question

11．央視財(cái)經(jīng)頻道《升級到家》欄目答題有獎，游戲規(guī)則：每個家庭兩輪游戲，均為三局兩勝，第一輪3題答對2題，可獲得小物件（家電），價(jià)值1600元；第二輪3題答對2題，可獲得大物件（家具）價(jià)值5400元（第一輪的答題結(jié)果與第二輪答題無關(guān)），某高校大二學(xué)生吳乾是位孝順的孩子，決定報(bào)名參賽，用自己的知識答題贏取大獎送給父母，若吳乾同學(xué)第一輪3題，每題答對的概率均為$\frac{3}{4}$，第二輪三題每題答對的概率均為$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求吳乾同學(xué)能為父母贏取小物件（家電）的概率；
（Ⅱ）若吳乾同學(xué)答題獲得的物品價(jià)值記為X（元）求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意贏取小物件即第一輪答對2題，故概率P=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+（{\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}$，計(jì)算即可；
（2）贏取大物件即第二輪答對2題，可得概率P′=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+（{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}}）×\frac{2}{3}$，化簡可得；
同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值．

解答 解：（1）由題意贏取小物件即第一輪答對2題，
∴所求概率P=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+（{\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}+\frac{9}{32}=\frac{27}{32}$；
（2）贏取大物件即第二輪答對2題，
∴所求概率P′=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+（{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}}）×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$，
同理可求P（X=0）=（$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$）×（$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$）=$\frac{35}{864}$，
P（X=1600）=$\frac{27}{32}$×（$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$）=$\frac{189}{864}$，
P（X=5400）=（$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$）×$\frac{20}{27}$=$\frac{100}{864}$
P（X=7000）=$\frac{27}{32}$×$\frac{20}{27}$=$\frac{540}{864}$
可得X的分布列為：

X	0	1600	5400	7000
P	$\frac{35}{864}$	$\frac{189}{864}$	$\frac{100}{864}$	$\frac{540}{864}$

∴$E（X）=0×\frac{35}{864}+1600×\frac{189}{864}+5400×\frac{100}{864}+7000×\frac{540}{864}$=350+625+4375=5350（元）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，涉及概率的加法公式和乘法公式，屬中檔題．