Question

已知點(diǎn)P（1，4）在圓C：x²+y²+2ax-4y+b=0上，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x+y-3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓C上，則a=

-1

，b=

1

．

Answer 1

分析：可求得點(diǎn)P（1，4）關(guān)于直線(xiàn)x+y-3=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，通過(guò)解關(guān)于a，b的方程組即可求得 a，b．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（1，4）關(guān)于直線(xiàn)x+y-3=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P′（x₀，y₀），
則直線(xiàn)PP′的斜率k=

y0-4

x0-1

=1，①
又線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)M（

x0+1

2

，

y0+4

2

）在直線(xiàn)x+y-3=0上，
∴

x0+1

2

+

y0+4

2

-3=0，②
由①②解得x₀=-1，y₀=2，
∴P′（-1，2）；
∴將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代人圓C方程x²+y²+2ax-4y+b=0上得：

1+16+2a-16+b=0 1+4-2a-8+b=0

，
解得

a=-1 b=1

．
故答案為：-1，1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，求得點(diǎn)P（1，4）關(guān)于直線(xiàn)x+y-3=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（-1，2）是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．