Question

設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，令函數(shù)g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），對任意x∈R，不等式g（x）≥mt+m對任意的t∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則：（5分）
解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（6分）
（2）=（8分）
==，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即2^x+1=2，x=0時(shí)“=”成立，
∴函數(shù)g（x）≥log₂8=3，函數(shù)g（x）的最小值為3．（10分）
不等式g（x）≥mt+m對x∈R，t∈[-2，2]恒成立，即mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，令h（t）=mt+m-3，
∴解得-3≤m≤1，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-3，1]．（12分）
分析：（1）利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的定義，可建立不等式組，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）通過研究函數(shù)g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，再構(gòu)建函數(shù)，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查恒成立問題，正確理解單調(diào)性的定義，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．