Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)是PC的中點．
（Ⅰ）求證：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求證：BF∥面PDE．

Answer 1

分析：（I）證明DE⊥AB，DE⊥AP，利用線面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB，從而可證面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）證明FG與BE平行且相等，可得BF∥GE，利用線面平行的判定可得BF∥面．

解答：證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°
∴△ABD為正三角形E是AB的中點，DE⊥AB-----------------------------------（2分）
∵PA⊥面ABCD，DE?面ABCD
∴DE⊥AP-----------------------------------（4分）
∵AB∩AP=A
∴DE⊥面PAB
∵DE?面PDE
∴面PDE⊥面PAB-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）取PD的中點G，連結(jié)FG，GE，-----------------------------------（8分）
∵F，G是中點，∴FG∥CD且FG=

1

2

CD
∴FG與BE平行且相等，
∴BF∥GE-----------------------------------（10分）
∵GE?面PDE
∴BF∥面PDE．-----------------------------------（12分）

點評：本題考查線面垂直，面面垂直，考查線面平行，正確運用判定定理是關鍵．