已知函數(shù)f（x）=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（
A
2
）=2，a=
3
，b=1，判斷△ABC的形狀．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2x+
π
6
），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（
A
2
）=2sin（A+
π
6
）=2，可得A=
π
3
，利用正弦定理可求得B=
π
6
，C=
π
2
，從而可判斷△ABC為直角三角形．
解答： 解：﹙Ⅰ﹚f（x）=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x=cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
），…（4分）
所以T=π…（5分）
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z
得f（x）的增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z．…（7分）
﹙Ⅱ﹚由f（
A
2
）=2，有f（
A
2
）=2sin（A+
π
6
）=2，
所以 sin(A+
π
6
)=1…（8分）
因為0＜A＜π，得A+
π
6
=
π
2
，即A=
π
3
…（10分）
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得sinB=
1
2

又b＜a，B＜A，
所以B=
π
6
，所以C=
π
2
…．…（12分）
∴△ABC為直角三角形．…（13分）
點評：本題考查三角恒等變換的應用及正弦定理，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與三角形形狀的判定，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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在區(qū)間[-2，3]上隨機地取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+（a+2）x有極值的概率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
2
5
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P是平面區(qū)域
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0
內(nèi)的動點，向量
a
=（1，3），則
OP
•
a
的最小值為（　�。�
A、-1B、-12
C、-6D、-18

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U={x|1≤x≤7，x∈Z}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，則B∩（∁UA）=（　�。�
A、{5}
B、{2，4}
C、{2，4，5，6}
D、{1，3，5，6，7}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若lg2=a，lg3=b，則
lg15
lg12
等于（　�。�
A、
1+a+b
2a+b
B、
1+a+b
a+2b
C、
1-a+b
2a+b
D、
1-a+b
a+2b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）2+x-1，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若a=1，求F（x）=g（x）-f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+
3
4
+
4
9
+…+
n+1
n
＞ln（n+1）都成立；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a（a＞0），使得方程
2g(x)
x
=f′（x+1）-（4a-1）在區(qū)間（
1
e
，e）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個扇形的周長為4，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，河流航線AC段長40公里，工廠B位于碼頭C正北30公里處，原來工廠B所需原料需由碼頭A裝船沿水路到碼頭C后，再改陸路運到工廠B，由于水運太長，運費太高，工廠B與航運局協(xié)商在AC段上另建一碼頭D，并由碼頭D到工廠B修一條新公路，原料改為按由A到D再到B的路線運輸．設|AD|=x公里（0≤x≤40），每10噸貨物總運費為y元，已知每10噸貨物每公里運費，水路為l元，公路為2元．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使運費最省，碼頭D應建在何處？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=
3
2
，且函數(shù)f（x）在[1，t]上的值域為[
3
2
，
15
4
]，求t的值；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x）+3，x1，x2是R上的任意兩個實數(shù)，且x1+x2=1，若g（mx1）+g（mx2）恒為一個常數(shù)，求非零常數(shù)m的值．

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