Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x³－ax²－ax，g(x)＝2x²＋4x＋c.

(1)試問函數(shù)f(x)能否在x＝－1時(shí)取得極值？說明理由；

(2)若a＝－1，當(dāng)x∈[－3,4]時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍.

Answer 1

(1)不能.由題意f′(x)＝x²－2ax－a，

假設(shè)在x＝－1時(shí)f(x)取得極值，則有f′(－1)＝1＋2a－a＝0，∴a＝－1，

而此時(shí)，f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值.

這與f(x)在x＝－1有極值矛盾，所以f(x)在x＝－1處不能取得極值.

(2)設(shè)f(x)＝g(x)，則有x³－x²－3x－c＝0，∴c＝x³－x²－3x，

設(shè)F(x)＝x³－x²－3x，G(x)＝c，令F′(x)＝x²－2x－3＝0.解得x₁＝－1或

x＝3.

列表如下：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9				－9		－

由此可知：F(x)在 (－3，－1)、(3,4)上是增函數(shù)，在(－1，3)上是減函數(shù).

當(dāng)x＝－1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值F(－1)＝；當(dāng)x＝3時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值F(3)＝－9.

F(－3)＝－9，F(xiàn)(4)＝－.

如果函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)F(x)與G(x)有兩個(gè)公共點(diǎn).

所以－ <c<或c＝－9.