Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，若存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率e的取值范圍是（　�。�

• A．

  2

  2

  ≤e＜1
• B．0＜e＜

  2

  2

• C．

  1

  2

  ≤e＜1
• D．

  1

  2

  ≤e＜

  2

  2

Answer 1

分析：設(shè)P為橢圓上一個動點，則當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可根據(jù)題意得：在Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，所以
P₀O≤

3

OF₂，代入數(shù)據(jù)化簡，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

，最后結(jié)合橢圓離心率e=

c

a

∈（0，1），可得到該橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：如圖，當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運(yùn)動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，
張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：
∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，可得Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，其中c=

a2-b2

∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

∵橢圓離心率e=

c

a

，且a＞c＞0
∴

1

2

≤e＜1
故選C

點評：本題根據(jù)橢圓上一點對兩個焦點的張角大于或等于60度，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，屬于基礎(chǔ)題．