Question

某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過程中穿插抽獎活動，第一輪抽獎從這1000張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動．第二輪抽獎由第一輪獲獎者獨立操作按鈕，電腦隨機產(chǎn)生兩個實數(shù)x，y（x，y∈[0，4]），若滿足y≥

8

5

x，電腦顯示“中獎”，則抽獎者再次獲得特等獎獎金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎獎金．
（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎中被抽中，求小明在第二輪抽獎中獲獎的概率；
（Ⅱ）設特等獎獎金為a元，求小李參加此次活動收益的期望，若該公司在此次活動中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意知符合幾何概型，從而求面積比即可；
（Ⅱ）特等獎獎金為a元，設小李參加此次活動的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．從而列分布列，再求數(shù)學期望，再令

185625

2

-

25(a+900)

8

≥70000即可．

解答： 解：（Ⅰ）設“小明在第二輪抽獎中獲獎”為事件A，
所有基本事件構成區(qū)域的面積為16，
事件A所包含的基本事件的區(qū)域的面積為5，
∴P（A）=

5

16

．
（Ⅱ）特等獎獎金為a元，
設小李參加此次活動的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．
P（ξ=-100）=

990

1000

=

99

100

，
P（ξ=900）=

10

1000

•

11

16

=

11

1600

，
P（ξ=a+900）=

5

1600

=

1

320

．
∴ξ的分布列為

ξ	-100	900	a+900
P	99 100	11 1600	1 320

∴Eξ=-100×

99

100

+900×

11

1600

+（a+900）

1

320

=-

1485

16

+

a+900

320

．
∴該集團公司收益的期望為-1000Eξ=

185625

2

-

25(a+900)

8

，
由題意

185625

2

-

25(a+900)

8

≥70000，
解得a≤6400．
故特等獎獎金最高可設置成6400元．

點評：本題考查了幾何概型的應用及分布列與數(shù)學期望的求法，屬于基礎題．