Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）求證：ln（n+1）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，求出切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a≥0，a＜0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域，進(jìn)而得到極小值；
（3）令a=-1，得到f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥

x

1+x

，令x=

1

n

，則有l(wèi)n（1+

1

n

）≥

1

n+1

，由于

1

n(n+1)

＜

1

n2

即有

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，證得ln（1+

1

n

）＞

n-1

n2

，運(yùn)用累加法和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

，
則函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率為1+a=2，切點(diǎn)為（0，0），
即有函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=2x；
（2）解：f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

=

x+1+a

(x+1)2

，
當(dāng)a≥0時(shí)，x+1+a≥x+1＞0，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，解得，x＞-1-a；由f′（x）＜0，解得，-1＜x＜-1-a．
綜上可得，a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞），無減區(qū)間，無極值；
a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1-a，+∞），減區(qū)間為（-1，-1-a），
f（x）在x=-1-a取得極小值，且為ln（-a）+1+a．
（3）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）可得，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
則f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，
即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥

x

1+x

，
令x=

1

n

，則有l(wèi)n（1+

1

n

）≥

1

n+1

，
由于

1

n(n+1)

＜

1

n2

即有

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，
即有

1

n+1

＞

n-1

n2

，
則ln（1+

1

n

）＞

n-1

n2

，
即有l(wèi)n（1+

1

1

）+ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）
＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

，
即為ln（

2

1

•

3

2

•

4

3

••

n+1

n

）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

，
則有l(wèi)n（n+1）＞

1-1

12

+

2-1

22

+

3-1

32

+…+

n-1

n2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)用函數(shù)的最值證明不等式的方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．