Question

（2013•朝陽區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為F，G分別為PB，BE的中點，所以FG∥PE．
又因為FG?平面PED，PE?平面PED，所以，F(xiàn)G∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因為CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分別為線段PB，PC的中點，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM．證明如下：
在直角三角形AEB中，因為AE=1，AB=2，所以BE=

5

．
在直角梯形EADP中，因為AE=1，AD=PD=2，所以PE=

5

，
所以PE=BE．又因為F為PB的中點，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因為CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得

PM

PB

=

PF

PC

．
由已知可求得PB=2

3

，PF=

3

，PC=2

2

，所以PM=

3 2

2

．…（14分）